量子ホール効果：1980年の測定と1982年の理論を区別する
シリコンMOSFETの量子化ホール抵抗測定と、周期ポテンシャル中のホール伝導度理論を比較します。観測量とギャップ条件を分け、全材料のエッジ輸送へ一般化しません。
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1. 実験で測定したホール抵抗
量子ホール効果は、低温・強磁場の二次元電子系でホール抵抗に一定値のプラトーが現れる現象です。1980年、von Klitzing、Dorda、PepperはシリコンMOSFETの二次元電子系でこの現象を観測し、量子化ホール抵抗を微細構造定数の測定に利用できる可能性を報告しました。プラトー上で縦抵抗は非常に小さくなりますが、すべての試料で厳密にゼロとは限りません。
2. 周期ポテンシャル理論が説明するホール伝導度
1982年、Thouless、Kohmoto、Nightingale、den Nijsは周期ポテンシャルを持つ二次元電子系のホール伝導度の量子化を理論的に扱い、整数のトポロジカル不変量と結び付けました。Chern数による説明は、関連するエネルギーギャップなどの条件が保たれるとき、量子化が小さな摂動に対して頑健である理由を示します。この二つの初期論文は、あらゆる材料・形状で同じ精度が得られることや、無散乱の端状態を普遍的に直接測定したものではありません。
3. グラフや論文を読むための三つの区別
第一に、1980年の観測量はホール電圧の測定から得た抵抗で、対象はシリコンMOSFETの二次元電子系です。プラトーは条件を変えても抵抗が一定値付近にとどまる区間を指します。平坦な区間の観測と、すべての条件で同じ抵抗になるという主張は異なります。
第二に、1982年のTKNN論文は、均一磁場と周期ポテンシャルを置いた理論系のホール伝導度を計算します。要旨に明記された量子化の条件は、フェルミエネルギーがギャップ内にあることです。この仮定を確認すれば、整数で表される結果を任意の材料・温度・測定へ移す誤りを避けられます。
第三に、整数がどの値を意味するか確かめます。以下は磁場や電圧端子の選び方による符号を省いた大きさの式です。整数量子ホールのプラトーでは、理想的な二次元ホール伝導度はσxy = νe²/hで、縦抵抗Rxxがゼロへ近づく極限では対応するホール抵抗はRxy = h/(νe²)です。ここでνは正の整数のプラトー指数、eは電気素量、hはプランク定数です。伝導度の単位はS（ジーメンス）、抵抗はΩです。Rxxが十分小さければ逆数の関係を近似できますが、縦成分が有限なら伝導度・抵抗率テンソルの関係を確認します。 NISTの直流量子ホールの説明
仮想的な理想例では、ν=1でσxy=e²/h、Rxy=h/e²、ν=2でσxy=2e²/h、Rxy=h/(2e²)です。指数が1から2へ変わると伝導度は2倍、抵抗は半分になります。「整数」は抵抗が1Ω、2Ωという意味ではありません。これは式を比べる例で、新しい実験データではありません。実測グラフではホール抵抗のプラトーと低いRxxが同時に現れるかを確かめ、理論の条件と結び付けて読みます。