各行で何が保たれているか

2x + 6 = 18を解くとき、答えだけでは等式の意味を理解しているか分かりません。2x + 6 = 18 → 2x = 12 → x = 6と書き、最初は両辺から6を引き、次は両辺を2で割ったと説明してもらいます。最後に6を元の式へ代入し、2 × 6 + 6 = 18となるか確かめます。この数値と方程式は授業用の例です。

同じ関係を言葉・図・記号で結ぶ

同じ例を「同じ大きさのまとまりが二つと、ばらの6個を合わせて18個」と言葉で表したり、二つのまとまりと6個を18に対応させた図にしたりできます。図では2xと6がそれぞれ何を表すかを示します。見栄えのための図ではなく、数量関係を明らかにするために使います。図から式へ移るとき何が変わらないか、等号が答えを書く合図ではなく両辺の値が等しい関係を示すかを説明してもらいます。

誤った式変形から考え方を確かめる

2x + 6 = 18の右辺だけから6を引き、2x + 6 = 12としてしまった例を見せます。どちらの辺が変わったのか、新しい式も成り立つのかを問い、数値を代入するか両辺を比べます。正しい式に直すだけでなく、なぜ両辺に同じ演算を行う必要があるかを図や言葉で説明してもらいます。

方略を比べ、選んだ理由を説明する

式の構造を見られるようになったら、2(x + 3) = 18を展開して2x + 6 = 18とする方法と、両辺を2で割ってx + 3 = 9とする方法を比べます。どちらもx = 6になります。どの方法が使いやすいか、各段階で等しさが保たれる理由を尋ねましょう。すべての問題に一つの方略を当てはめることが目標ではありません。

What Works Clearinghouseの第6～12学年向け代数ガイドでは、解答例の分析と代数表現の構造の活用は最小の根拠、複数の方略から意図的に選ぶ指導は中程度の根拠と評価されています。評価は各推奨を支える研究の根拠の強さを示すもので、全ての学習者に対する効果の順位ではありません。また、方略選択は代数の手順や方略にある程度慣れた後に扱うという条件も示されています。

短い確認を次の授業につなげる

正答かどうかだけでなく、どの演算をしたか、両辺に同じ操作をした理由を説明できるか、別の表現でも同じ関係を示せるかを記録します。計算は正しくても説明がなければ、図と式を結ぶ課題を使います。一方だけを変えていたら、手順を増やす前に等式の意味を確かめます。一度の答えで理解を決めず、数値を変えた問題でも同じ関係を説明できるか確認してください。

参考資料