고유시간과 좌표시간

고유시간 Δτ는 한 시계가 자신의 세계선 위 두 사건 사이에서 읽는 시간입니다. 다른 관성계에 대해 일정한 속도 v로 움직이는 구간에서 좌표시간은 Δt=γΔτ, γ=1/√(1−v²/c²)입니다. 아인슈타인의 1905년 원논문 영문 번역은 빛 신호를 이용한 시계 동기화와 로런츠 변환을 전개합니다. Max Planck Institute의 빛시계 설명은 등속 관성계에서 움직이는 시계가 상대 관측자에게 느리게 보이는 이유를 설명합니다.

계산 예: 0.6c

시계가 자기 기준으로 두 사건 사이 4년을 기록하고, 그동안 실험실 기준계에 대해 일정하게 0.6c로 움직인다고 가정합니다. γ=1/√(1−0.6²)=1.25이므로 실험실 시간은 Δt=1.25×4=5년입니다. 같은 두 사건을 가리키며, 한 시계는 4년의 고유시간을 기록하고 실험실 좌표시간은 5년입니다.

문제를 풀 때는 먼저 어느 두 사건을 비교하는지 정하고, 두 사건이 같은 시계에서 일어났다면 그 시계의 Δτ를 찾습니다. 그다음 상대속도를 재는 관성계를 정하고 γ를 계산하세요. 이 순서를 지키면 고유시간과 관측자 좌표시간을 뒤섞지 않습니다.

기호를 볼 때 c는 빛의 속도이고 v는 두 기준계의 상대속도입니다. v가 c보다 작을 때 γ는 1 이상이며 v가 0이면 γ=1이 되어 두 시간 간격이 같습니다. 이 극한 확인은 계산이 물리적으로 일관되는지 점검하는 간단한 방법입니다.

로런츠 변환은 시간만 바꾸는 공식이 아닙니다. 한 축 방향 운동에서는 x′=γ(x−vt), t′=γ(t−vx/c²)처럼 위치와 시간이 함께 변환됩니다. 따라서 한 기준계에서 동시에 일어난 서로 다른 위치의 사건은 다른 기준계에서 동시에 아닐 수 있습니다. 앞의 0.6c 계산은 같은 시계의 두 사건에 대한 시간 간격 비교이므로, 사건의 동시성까지 자동으로 같다고 뜻하지 않습니다.

상호성과 적용 한계

서로 등속으로 움직이는 관측자는 상대 시계가 느리다고 각각 말할 수 있습니다. 먼 시계를 동기화하는 방법과 동시성의 기준이 다르므로 모순이 아닙니다. 실제 왕복 후 재회하는 시계는 방향 전환과 가속이 있어 전체 경로를 하나의 등속 관성계로 계산할 수 없습니다. 이 예는 평탄한 시공간의 등속 구간에 한정됩니다. 중력 시간 지연은 일반상대론의 주제이며, 재회 비교에는 세계선 전체가 필요합니다.

출처