두 자산의 변동성은 공분산까지 계산합니다

MPT는 기대수익률뿐 아니라 분산과 공분산을 함께 보는 틀입니다. 두 자산 비중 w와1−w가 모두 양수이고 합이1인 비차입·공매도 없는 포트폴리오를 생각합니다. 두 표준편차도 양수라면 상관계수 ρ < 1에서 포트폴리오 표준편차는 wσA+(1−w)σB보다 작습니다. 비중이0이거나 변동성이0인 경계에서는 엄격한 감소를 보장하지 않습니다. 공매도가 있으면 이 조건을 그대로 적용할 수 없습니다.

가상 연간 입력은 A 기대수익8%, 표준편차20%, B 기대수익4%, 표준편차10%, 각 비중50%, 상관0.2입니다. 기대수익은6%, 분산은0.5²×0.2² + 0.5²×0.1² + 2×0.5×0.5×0.2×0.1×0.2 = 0.0145, 표준편차는√0.0145 ≈ 12.0416%입니다. 개별 표준편차의 가중평균15%보다 작지만 더 안정적인 B의10%보다는 큽니다. '분산하면 모든 구성자산보다 덜 위험하다'는 뜻이 아닙니다.

같은 입력에서 상관만1이면 표준편차는15%입니다. 낮은 과거 상관이 미래에도 유지된다는 보장은 없으며, 이50:50 조합을 계산했다고 효율적 투자선의 최적 조합을 찾은 것은 아닙니다. CFA Part I는 포트폴리오 표준편차와 상관의 역할을 설명합니다.

효율적 투자선의 의미

효율적 투자선은 정해진 자산, 가중치 제약, 기대수익률과 공분산 입력 아래에서 같은 변동성에 최대 기대수익을 주는 효율적인 가능 조합의 경계입니다. 목표 기대수익을 정해 최소 분산 조합을 찾는 방식으로도 탐색하되, 더 낮은 위험에 더 높은 기대수익을 주는 조합이 있는 비효율적 부분은 제외합니다. 입력이나 제약이 바뀌면 경계도 바뀝니다.

무위험 자산의 도입과 자본배분선(CAL)

모형에서 투자기간과 통화가 일치하는 무위험 자산을 가정하면 위험자산과의 조합을 자본배분선(CAL)으로 나타낼 수 있습니다. CAL은 임의의 위험 포트폴리오와 무위험 자산의 조합에도 그릴 수 있으며, 그중 효율적 투자선에 접하는 선의 위험 포트폴리오가 접점 포트폴리오입니다. 실제 국채를 중도 매도하거나 다른 통화로 보유하면 이 모형의 무위험 가정과 다를 수 있습니다. 이를 시장 포트폴리오와 동일시하는 것은 무위험 차입·대출과 동질적 기대 등 CAPM의 추가 가정을 둘 때의 결과입니다. 이 접점 포트폴리오는 포트폴리오의 샤프 지수(Sharpe Ratio, 변동성 대비 초과수익률)를 극대화하는 지점입니다. 이상적인 모형에서는 투자자가 접점 포트폴리오와 무위험 자산 사이의 비중을 조절합니다. 실제 결과는 수익률 추정치, 거래비용, 차입 가능성 및 투자 제약에 따라 달라집니다.

계산의 목적과 입력 점검

CFA Part II는 CAL·CML와 CAPM의 추가 가정을 구분합니다. 같은 관측 기간·통화의 수익률을 사용하고, 기대수익과 공분산이 추정치임을 표시하세요. 비용·비중 제한·차입 조건이 바뀌면 가능한 조합과 효율적 투자선도 바뀝니다. 표준편차는 이 모형의 위험 척도이지 최대 손실이나 현금이 필요할 때의 유동성 보장이 아닙니다.