채권 만기와 현금흐름 구조의 한계 및 듀레이션의 도입

채권의 금리 변동 위험을 단순히 최종 원금 상환일까지의 잔존만기(Maturity)로만 측정하면 쿠폰 지급 시점의 차이를 놓칩니다. 만기가 동일한 10년물 채권이라 하더라도 매기 지급되는 표면이율(쿠폰)의 크기에 따라 투자자가 투자 원금을 회수하는 실질적인 현금흐름의 시간적 중심축이 달라지기 때문입니다. 프레더릭 맥컬리(Frederick Macaulay)가 고안한 맥컬리 듀레이션(Macaulay Duration)은 채권에서 발생하는 모든 미래 현금흐름(이자 및 원금)의 현재가치를 가중치로 삼아 산출한 '현금흐름 회수의 가중평균 잔존기간'으로 정의됩니다.

수정 듀레이션은 작은 수익률 변화의 근사입니다

연 m회 복리인 연율 YTM y를 쓰면 수정 듀레이션 Dmod = Dmac / (1 + y/m), ΔP/P ≈ −Dmod × Δy입니다. Δy는 소수로 넣습니다. 100bp는 0.01이고 1% 상승과 1%포인트 상승을 혼동하지 않습니다. Dmod 8인 채권의 ±100bp에 대한 ±8%는 1차 근사이며 실제 상승·하락이 대칭이라는 뜻은 아닙니다. CFA 가격·수익률 설명은 약정 현금흐름과 할인율로 가격을 계산합니다.

같은 채권을 재가격해 근사 오차를 확인합니다

계산 설명용 가상 예시로, 옵션 없는 8년 만기 무이표채가 만기에 100단위를 지급하고 연복리 YTM이 5%라고 가정합니다. 가격 P = 100/(1.05)^8 = 67.6839, Dmod = 8/1.05 = 7.6190, 볼록성 C = 8×9/(1.05)^2 = 65.3061입니다. 이 C는 가격으로 정규화한 수익률에 대한 2차 도함수이며 같은 연복리 관례를 사용합니다.

YTM이 6%로 오르면 듀레이션만으로 −7.6190%, 볼록성까지 넣은 −Dmod×0.01 + 0.5×C×0.01²는 −7.2925%입니다. 정확한 새 가격 100/(1.06)^8 = 62.7412를 원가격과 비교한 변화는 −7.3026%입니다. 4%로 내리면 정확한 변화는 +7.9562%로, 선형근사 +7.6190%와 다릅니다. 볼록성 보정도 예측 보장이 아니라 이 예시의 오차를 줄인 근사입니다.

옵션과 수익률 곡선이 바뀌면 모형을 바꿉니다

Dunetz·Mahoney의 1988년 연구 공개 요약은 작은 변화의 듀레이션 근사와 콜옵션의 영향을 구분합니다. 고정된 양의 현금흐름을 갖는 옵션 없는 채권의 양의 볼록성을 모든 채권에 일반화할 수 없습니다. 콜옵션이 있으면 현금흐름이 바뀌고 음의 볼록성도 가능합니다.

실무에서는 단위, 복리 횟수, 수정/유효 듀레이션 여부를 먼저 확인한 뒤 작은 충격을 계산하고, 큰 충격은 현금흐름을 재가격합니다. 위 예시는 단일 YTM 변화만 다루며 곡선의 비평행 이동, 신용스프레드 변화, 유동성·환율 위험을 함께 측정하지 않습니다.